Sayangnya, filsafat analitik tidak pernah hidup. Dengan demikian, filsafat analitik belum mati. Mungkin, lebih tepatnya, filsafat analitik tidak akan mati; sejauh ia tidak pernah hidup. Burung-burung manyar mungkin telah mati, tetapi itu bukti bahwa mereka pernah hidup tanpa perlu bara api omong kosong.
You are living in a day when logicians
The Manifesto of The Logicians Liberation League[1]
will not any longer endure your taunts,
your slurs, your insults (you filthy vermin).
Penafian: anda memasuki area perdebatan murni akademis. Kami di sini akan menulis dengan mode amoral; sebab, tidak ada moral dalam logika (Carnap, 2001: 51-2). Apabila sekiranya pembaca terlalu sensitif terhadap hal-hal berbau etiket atau sopan santun, silakan berhenti membaca sampai di sini. Anda sudah kami peringatkan. Kami tidak menanggung konsekuensi etis apa pun apabila pembaca terbawa secara emosional. Tidak ada serangan personal dalam tulisan ini: semua serangan, beserta bumbu-bumbunya, murni untuk mengkritik tulisan dan argumentasi.
Filsafat dan logika pada masa lampau adalah burung yang bebas bereksplorasi sebelum matematika menemukannya dan mengurungnya di dalam sangkar emas yang diklaim ‘paling indah’. Sayang sekali, burung itu tetap ingin bebas. Hingga akhirnya, ia tetap keluar dari sangkarnya untuk mengeksplorasi hutan metafisika yang lebih indah dari sangkar emas matematika sebab keindahan itu tidak hanya soal keketatan aritmatika, geometri, topologi, homotopi, atau homo-homo abstrak lain dalam matematika: tetapi juga kemasukakalan intuitif argumentasi keseharian.
Bagi yang hanya tahu palu, semuanya menjadi paku untuk dipalu: tiada guna menamai ulang duplikat-duplikat palu tersebut; mereka tetap palu dan kembali lagi semuanya dianggap paku. Tidak ada yang perlu diapresiasi dari menamai duplikat palu: palu-0, palu-1, palu-2, …, palu-n; hakikatnya tetap palu.
Meskipun mencoba untuk tidak melihat paku sama sekali, banyaknya palu menjadi tidak ada faedahnya; dan si ahli palu pun hanya merangkai kata-kata indah berseni-sastra tinggi agar palu yang dijual laku. Maka dari itu, semangat yang dibawa logikawan adalah keluar dari belenggu palu: ini bukan soal palu-0 sampai ke-n; ini soal alat perkakas yang lebih dari sekadar palu. Kalau tidak mau hal tumpul, jangan pakai palu; kalau mau hal tajam, pakailah pisau; dan kalau mau hal bergerigi, pakailah gergaji.
Sekadar mengoreksi Ulfah (2024) yang membingungkan prinsip penyisihan jalan tengah dengan prinsip non-kontradiksi: prinsip penyisihan jalan tengah itu selayaknya berbeda dengan prinsip non-kontradiksi secara intuitif; dan hanya orang-orang dengan penalaran logika relatif klasik yang mengidentikkan keduanya. Bahkan, secara umum, tiga ‘prinsip dasar logika’ itu identik satu sama lain dalam logika klasik: prinsip identitas, prinsip penyisihan jalan tengah, dan prinsip non-kontradiksi.
Prinsip identitas: $A \Rightarrow A$
Prinsip penyisihan jalan tengah: $A \lor \neg A$
Prinsip non-kontradiksi: $\neg(A \land \neg A)$
Perhatikan bahwa implikasi $A \Rightarrow B$ dalam logika klasik itu identik dengan $\neg A \lor B$ karena ia merupakan implikasi material; sehingga, $A \Rightarrow A$ identik dengan $\neg A \lor A$ yang secara komutatif $A \lor \neg A$. Begitu pula antara $A \lor \neg A$ dengan $\neg(A \land \neg A)$: perhatikan bahwa terdapat prinsip De Morgan, $A \lor B =_{df} \neg (\neg A \land \neg B)$, sehingga $A \lor \neg A$ identik dengan $\neg (\neg A \land \neg \neg A)$ yang juga berarti $\neg (\neg A \land A)$ karena negasi ganda, dan secara komutatif $\neg (A \land \neg A)$. Maka dari itu, dalam logika klasik:
$A \Rightarrow A =_{df} A \lor \neg A =_{df} \neg(A \land \neg A)$
Dengan demikian, penamaan dan penjelasan yang berbeda terhadap ketiga prinsip tersebut adalah pembedaan tanpa perbedaan (distinctions without difference) dalam logika klasik. Ini persis seperti matematika yang diklaim oleh Ulfah (2024): seni memberi nama bagi ‘duplikat-duplikat’; lebih tepatnya, membual. Padahal, pembedaan tersebut menjadi salah satu indikasi bahwa sejak awal kami berpikir secara non-klasik: kita menangkap sebuah perbedaan nyata dari ketiga prinsip tersebut.
Kami tidak pernah menyisihkan dunia matematika. Namun, akui saja dunia matematika merupakan bagian dari kumpulan dunia yang lebih luas dan beragam lagi; tiada guna mengulang-ngulang palu beserta duplikat-duplikatnya.
In the name of A. N. Whitehead and B. Russell we gather;
The Manifesto of The Logicians Liberation League
in the spirit of R. Carnap and A. Tarski, we march;
by the word of W. V. O. Quine, we shall prevail.
Akhir dari Tiga
Cukup mengecewakan, kami pikir kita akan bertarung pada tataran logika proposisional (tanpa kuantor) seperti pada artikel awal kami (baca Ahnaf dan Arkhano, 2024a dan 2024b); ternyata malah dibawa jauh hingga logika orde pertama (berkuantor), atau ‘ilmu orde pertama’ seperti klaim Ulfah (2024). Respon Ulfah tersebut secara total tidak relevan; respon tersebut antara sebuah kebodohan berbalut kata-kata indah, atau memang hasil dari tidak membaca artikel kami (maupun rujukan kami, Priest, 2008); atau Ulfah memang sengaja tidak menghiraukan problem yang kami tunjukkan pada tataran proposisional dengan berkelit di ‘ilmu orde pertama’ dan berperilaku seakan permasalahan yang kami tunjukkan pada logika proposisional sudah ‘terpecahkan’ di ‘ilmu orde pertama’.
Tulisan Ulfah (2024) tersebut representasi nyata dari “hanya tahu palu, sehingga semua dianggap paku untuk dipalu”: hanya tahu ‘ilmu orde-orde-an’ dalam logika-matematika, sehingga semua pembahasan logika ditanggapi melalui kerangka ‘ilmu orde-orde-an’. Lebih baik kami memesan ojek online agar kami pergi nongkrong daripada berbicara secara tidak relevan: orang ngomong ke utara, malah dianalisis ke selatan; ini seperti pembahasan mengenai ‘basis’ yang tiba-tiba dianggap ‘basis vektor’ karena yang diketahui hanya ‘basis vektor’. Bagaimanapun, kami akan tetap meresponnya; kami juga akan tunjukkan bahwa masalahnya akan tetap sama meski dibawa sampai orde sejuta pun.
Observasi Pertama
Pendekatan aksiomatik dapat dibilang pendekatan yang cukup kuno atau, lebih tepatnya, bebal. Kebebalan pendekatan aksiomatik itu seperti orang-orang fanatik: “ini aksioma, ya sedari sananya sudah benar”; tidak ada ruang untuk mempertanyakan aksioma. Bagaimanapun, kami akan tetap mengikuti alur tulisan Ulfah.
Ulfah (2024) mengungkapkan penyelidikan secara aksiomatik dan menunjukkan bahwa $x \leq y$ merupakan himpunan dengan orde linier melalui relasi biner $R(x, y)$. Terdapat empat aksioma untuk $R(x, y)$:
(A1) $\forall x (R(x, x))$
(A2) $\forall x, y, z ((R(x,y) \land R(y, z)) \Rightarrow R(x, z))$
(A3) $\forall x, y ((R(x, y) \land R(y, x)) \Rightarrow x = y)$
(A4) $\forall x, y (R(x, y) \lor R(y, x))$
Berikut merupakan nama dari setiap aksioma tersebut: (A1) merupakan aksioma refleksivitas, (A2) merupakan aksioma transitivitas, (A3) merupakan aksioma anti-simetrisitas, dan (A4) merupakan aksioma konektivitas.
Bayangkan relasi $R$ seperti jembatan searah. (A1) mengungkapkan bahwa segala hal harus memiliki relasi $R$ dengan dirinya sendiri. (A2) mengungkapkan bahwa segala hal harus saling terhubung melalui $R$ membentuk sebuah jembatan yang mempersingkat jalur: semisal $x$ terhubung ke $y$, dan $y$ terhubung ke $z$, maka $x$ juga terhubung ke $z$. (A3) mengungkapkan bahwa apabila terdapat dua hal yang saling terhubung, maka keduanya sebenarnya identik atau satu hal yang sama. (A4) mengungkapkan bahwa segala hal harus terhubung, setidaknya sekali, melalui $R$. Kita sebut himpunan keempat aksioma tersebut sebagai sebuah teori orde pertama $T$ sesuai Definisi II yang ditetapkan Ulfah (2024).
Pertanyaannya, mengapa aksiomanya demikian? Pendekatan aksiomatik saja tidaklah cukup untuk menjawab ini karena sifatnya sekadar sintaktis dan, sekali lagi, bebal. Kita perlu menyelam lebih dalam pada semantik logika orde pertama untuk memahaminya lebih lanjut; sehingga, selanjutnya penjelasan akan simbolik secara penuh dengan menggunakan bahasa logikawan.
Observasi Kedua
Logika orde pertama adalah logika proposisional klasik yang melibatkan kuantifikasi variabel dan konstanta terhadap predikat (konstruksi yang kami jelaskan di sini mengadaptasi Priest sehingga untuk lebih detailnya baca Priest, 2008: 263-266). Sebut $L(\mathbb{I})$ sebagai konstruksi logika orde pertama yang dibangun atas interpretasi $\mathbb{I}$ dengan bahasa L. Sintaks dari bahasa L terdiri dari:
- Variabel: $v_0, v_1, v_2, …$
- Konstanta: $k_0, k_1, k_2, …$
- Predikat dengan penempatan sejumlah $n$: $P_n^0, P_n^1, P_n^2, …$, untuk $n > 0$
- Konektif: implikasi ‘$\Rightarrow$’, biimplikasi ‘$\Leftrightarrow$’ disjungsi ‘$\lor$’, konjungsi ‘$\land$’, negasi ‘$\neg$’, dan identitas ‘$=$’
- Kuantor: universal ‘$\forall$’, partikular ‘$\exists$’
- Tanda kurung: $($, $)$
Kita tetapkan $x, y, z$ sebagai variabel arbitrer; sedangkan untuk konstanta arbitrer ditetapkan dengan $a, b, c$ (bisa terdapat subskrip maupun aksen). Predikat ditetapkan menggunakan huruf kapital $P_n, Q_n, R_n$ yang mana $n$ adalah jumlah penempatan variabel atau konstanta pada predikat (subskrip akan dibuang apabila jumlah penempatannya cukup jelas). Kita gunakan $A, B, C$ untuk formula arbitrer; dan $\Sigma, \Pi$ sebagai himpunan formula.
Gramatikanya cukup sederhana: setiap konstanta dan variabel merupakan sebuah term. Formula dapat dispesifikasi secara rekursif sehingga:
- Jika $t_1, …,t_n$ merupakan term dan $P$ merupakan predikat dengan penempatan $n$, maka $P(t_1, …, t_n)$ merupakan formula atomis.
- Jika $t_1$ dan $t_2$ merupakan term, maka $t_1 = t_2$ merupakan formula identitas.
- Jika $A$ dan $B$ merupakan formula, maka $\neg A$, $A \lor B$, $A \land B$, $A \Rightarrow B$, dan $A \Leftrightarrow B$ merupakan formula.
- Jika $A$ merupakan formula, dan $x$ merupakan variabel, maka $\forall x (A)$ dan $\exists x (A)$ merupakan formula.
Perhatikan bahwa variabel $x$ disebut variabel terikat jika ia muncul dalam bentuk $\forall x (…x…)$ atau $\exists x (…x…)$. Jika tidak terikat, dan variabel $x$ tidak disubstitusikan oleh konstanta, maka variabel $x$ disebut variabel bebas sehingga sebuah formula tanpa variabel bebas merupakan formula yang tertutup. Sebut $A_x(c)$ sebagai formula yang didapatkan dari mensubstitusikan $c$ untuk setiap $x$ pada $A$.
Interpretasi $\mathbb{I}$ terdiri dari $\langle D, \nu \rangle$; yakni $D$ merupakan himpunan takkosong sebagai domain kuantifikasi, dan v merupakan fungsi konstanta dan predikat. Cara kerja fungsi $\nu$ adalah sebagai berikut:
- Jika $c$ merupakan konstanta, maka $\nu (c)$ merupakan anggota $D$
- Jika $P$ merupakan predikat dengan penempatan $n$, maka $\nu (P)$ merupakan subhimpunan $D^n$
- $D^n$ merupakan himpunan semua tuple $n$ anggota $D$, yakni $D^n = \{\langle d_1, …, d_n \rangle : d_1, …, d_n \in D\}$
- Untuk mempermudah, $\langle d \rangle$ cukup ditulis $d$ sehingga $D^1$ cukup ditulis $D$
Dalam interpretasinya, nilai kebenaran $\{0,1\}$ dipetakan pada semua formula yang tertutup: $0$ sebagai ‘salah’, dan $1$ sebagai ‘benar’. Kondisi kebenaran didapatkan dari menetapkan bahwa setiap anggota domain memiliki nama. Sehingga, untuk semua $d \in D$, terdapat konstanta $k_d$ sehingga $\nu (k_d)=d$. Kondisi kebenaran untuk formula atomis tertutup adalah:
$\nu (P(a_1, …, a_n)) = 1$ iff $\langle \nu (a_1), …, \nu(a_n)\rangle \in \nu(P)$.
Untuk formula identitas ‘$=$’, kita pertajam bahwa hal tersebut merepresentasikan predikat biner $P_2^0$ yang ditulis di antara term sehingga $t_1 = t_2$. Untuk negasi identitas, $t_1 \neq t_2$ merepresentasikan $\neg(t_1 = t_2)$. Kondisi untuk identitas adalah: $\nu(=) = \{\langle d,d\rangle: d \in D\}$; sehingga, semisal $a = b$ maka $\langle a,b \rangle$ merujuk pada denotasi yang sama persis, yakni denotasi $a$ merupakan denotasi $b$ dan denotasi $b$ merupakan denotasi $a$, yaitu $a$ dan $b$ merupakan perbedaan nama yang merujuk pada satu hal yang sama persis.
Sementara itu, kondisi kebenaran untuk konektif persis seperti logika proposisional klasik sebagai berikut:
- $\nu (\neg A) = 1$ iff $\nu (A) = 0$
- $\nu (A \land B) = 1$ iff $\nu (A) = \nu (B) = 1$
- $\nu (A \lor B) = 1$ iff $\nu (A) = 1$ atau $\nu (B) = 1$
- $\nu (A \Rightarrow B) = 1$ iff $\nu (A) = 0$ atau $\nu(B) = 1$
- $\nu (A \Leftrightarrow B)= 1$ iff $\nu (A) = \nu (B)$
Kondisi kebenaran untuk kuantor adalah sebagai berikut:
- $\nu (\forall x(A)) = 1$ iff untuk semua $d \in D$, $\nu (A_x(k_d)) = 1$
- $ \nu ( \exists x(A))=1$ iff terdapat $d \in D$, $\nu (A_x(k_d))=1$
Dapat diperhatikan, dengan Lemma Denotasi (baca Priest, 2008: 280), dapat ditunjukkan bahwa jika $C$ merupakan himpunan konstanta sehingga setiap objek dalam domain $D$ memiliki nama dalam $C$, maka:
- $\nu (\forall x(A)) = 1$ iff untuk semua $c \in C$, $\nu(A_x(c))=1$
- $\nu (\exists x(A)) = 1$ iff terdapat $c \in C$, $\nu(A_x(c))=1$
Penyimpulan merupakan hubungan antara premis dengan kesimpulan yang keduanya merupakan formula tertutup. Sebut $\Sigma \models A$ sebagai “dari $\Sigma$ dapat disimpulkan $A$”: dengan $\Sigma$ sebagai himpunan premis dan $A$ sebagai kesimpulan. Penyimpulan dalam logika orde pertama didefinisikan sebagai preservasi kebenaran dalam semua interpretasi $\mathbb{I}$, yakni:
$\Sigma \models A$ iff untuk semua $B \in \Sigma$, $\nu (B) = 1$, $\nu (A) = 1$
Maka dari itu, apabila $A$ merupakan formula berupa asersi, teorema, maupun aksioma, kita dapat mengevaluasi validitas/kebenaran $A$ dengan menunjukkan penyimpulan dengan premis kosong: $\models A$. Penyimpulan dengan premis kosong tersebut secara spesifik menunjukkan bahwa $A$ dievaluasi hanya menggunakan konstruksi logikanya saja, yakni $\langle D, \nu \rangle \models A$ atau $\mathbb{I} \models A$ yang berarti:
$\mathbb{I} \models A$ iff $\nu (A) = 1$
Dengan kata lain, ini persis seperti apa yang diungkapkan Ulfah (2024) bahwa analoginya adalah seperti mempertanyakan kebenaran $A$ dalam semua interpretasi $\mathbb{I}$. Meski formula $A$ tidak valid dalam $\mathbb{I}$, kita dapat melihat model kontra untuk $A$ dalam $\mathbb{I}$ sehingga kemudian model kontra tersebut dijadikan acuan transformasi agar negasinya menjadi sebuah spesifikasi untuk interpretasi lain $\mathbb{J}$ di mana formula $A$ valid/benar di $\mathbb{J}$.
Jawaban untuk Ulfah
Kita kembali pada teori $T$. Pertanyaannya, pada kondisi/interpretasi seperti apa setiap aksioma pada teori $T$ tersebut valid/benar? Untuk menjawabnya, pertama, kita cek satu persatu model kontra dalam $\mathbb{I}$ untuk setiap aksioma pada $T$: dari (A1) sampai (A4). Kemudian, setiap model kontra tersebut ditransformasi menjadi spesifikasi untuk interpretasi $\mathbb{J}$ sehingga setiap aksioma tersebut benar dalam $\mathbb{J}$ sedemikian $\mathbb{J} \models T$. Ingat, teori $T$ menggunakan predikat relasi $R_2^0$; sehingga, kita akan mengevaluasi $T$ menggunakan kerangka tersebut. Untuk mempersingkat, kita berikan tahapan untuk (A1) sebagai contoh; lalu sisanya, (A2) hingga (A4), kami langsung berikan model kontranya dan silahkan pembaca cek sebagai latihan.
(A1) $\forall x (R(x, x))$
Untuk mencari model kontra untuk (A1), kita tunjukkan terlebih dahulu ketidakvalidannya dalam $\mathbb{I}$.
| $\mathbb{I} \not\models \forall x(R(x,x))$ | |
| iff | $\nu(\forall x(R(x,x)))\neq1$ |
| iff | terdapat $d \in D$, $\nu (R(k_d, k_d)) \neq 1$ |
| iff | terdapat $d \in D$, $\langle \nu(k_d),\nu(k_d) \rangle \not\in \nu (R_2)$ untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ |
Kita fokus pada kesetaraan terakhir:
(B1) Terdapat $d \in D$, $\langle \nu(k_d),\nu(k_d) \rangle \not\in \nu (R_2)$, untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$
Pernyataan (B1) tersebut merupakan representasi model kontra untuk (A1) dalam $\mathbb{I}$: instansiasi $k_d$ menjadi konstanta $a$ sehingga $d$ menjadi denotasi $\partial_a$, kita mendapatkan $D = \{\partial_a\}$ dengan $\nu (a) = \partial_a$ di mana $\nu(R_2) = \varnothing$ untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ yakni:
| $R_2$ | $\partial_a$ |
| $\partial_a$ | $\times$ |
Dengan demikian, kita dapat susun spesifikasi untuk $\mathbb{J}$ dengan menegasikan (B1) menjadi:
(B1’) Untuk semua $d \in D$, $\langle \nu(k_d),\nu(k_d) \rangle \in \nu (R_2)$, untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$
Dengan (B1’) berlaku di $\mathbb{J}$, maka dapat dipastikan $\mathbb{J} \models \forall x(R(x,x))$. Perhatikan bahwa (B1’) membentuk domain $D = \{\partial_a, \partial_b, …\}$ dengan $\nu(a) = \partial_a$, $\nu(b) = \partial_b$, dan seterusnya, sedemikian sehingga $\nu(R_2) = \{\langle \nu(a),\nu(a) \rangle,\langle \nu(b), \nu(b) \rangle, …\}$ untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ yakni:
| $R_2$ | $\partial_a$ | $\partial_b$ | $…$ |
| $\partial_a$ | $\checkmark$ | ? | ? |
| $\partial_b$ | ? | $\checkmark$ | ? |
| $…$ | ? | ? | $\checkmark$ |
Untuk (A2) hingga (A4) kita tunjukkan langsung representasi model kontranya.
(A2) $\forall x, y, z ((R(x,y) \land R(y, z)) \Rightarrow R(x, z))$
Model kontranya adalah:
| $\mathbb{I} \not \models \forall x, y, z ((R(x,y) \land R(y, z)) \Rightarrow R(x, z))$ | |
| iff | terdapat $d_1,d_2,d_3 \in D$, $\langle \nu(k_{d_1}),\nu(k_{d_2}) \rangle \in \nu (R_2)$ dan $\langle \nu(k_{d_2}),\nu(k_{d_3}) \rangle \in \nu (R_2)$ dan $\langle \nu(k_{d_1}),\nu(k_{d_3}) \rangle \not\in \nu (R_2)$, untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ |
Kita fokus pada representasi model kontra tersebut:
(B2) Terdapat $d_1,d_2,d_3 \in D$, $\langle \nu(k_{d_1}),\nu(k_{d_2}) \rangle \in \nu (R_2)$ dan $\langle \nu(k_{d_2}),\nu(k_{d_3}) \rangle \in \nu (R_2)$ dan $\langle \nu(k_{d_1}),\nu(k_{d_3}) \rangle \not\in \nu (R_2)$, untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$
Pernyataan (B2) tersebut merupakan representasi model kontra untuk (A2) dalam $\mathbb{I}$: instansiasi $k_{d_1},k_{d_2},k_{d_3}$ menjadi konstanta $a,b,c$ sehingga $d_1,d_2,d_3$ menjadi denotasi $\partial_a,\partial_b,\partial_c$, kita mendapatkan $D = \{\partial_a,\partial_b,\partial_c\}$ dengan $\nu (a) = \partial_a$, $\nu (b) = \partial_b$, dan $\nu (c) = \partial_c$ di mana $\nu (R_2)=\{\langle \nu(a),\nu(b) \rangle,\langle \nu(b),\nu(c) \rangle\}$ untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ yakni:
| $R_2$ | $\partial_a$ | $\partial_b$ | $\partial_c$ |
| $\partial_a$ | $\times$ | $\checkmark$ | $\times$ |
| $\partial_b$ | $\times$ | $\times$ | $\checkmark$ |
| $\partial_c$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ |
Dengan demikian, kita dapat susun spesifikasi untuk $\mathbb{J}$ dengan menegasikan (B2) menjadi:
(B2’) Untuk semua $d_1,d_2,d_3 \in D$, $\langle \nu(k_{d_1}),\nu(k_{d_2}) \rangle \not \in \nu (R_2)$ atau $\langle \nu(k_{d_2}),\nu(k_{d_3}) \rangle \not \in \nu (R_2)$ atau $\langle \nu(k_{d_1}),\nu(k_{d_3}) \rangle \in \nu (R_2)$, untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$
Dengan (B2’) berlaku di $\mathbb{J}$, maka dapat dipastikan $\mathbb{J} \models \forall x, y, z ((R(x,y) \land R(y, z)) \Rightarrow R(x, z))$. Perhatikan bahwa (B2’) membentuk domain $D = \{\partial_a, \partial_b, \partial_c, …\}$ dengan $\nu(a) = \partial_a$, $\nu(b) = \partial_b$, $\nu(c) = \partial_c$, dan seterusnya, sedemikian sehingga apabila $\nu(R_2) = \{\langle \nu(a),\nu(b) \rangle,\langle \nu(b), \nu(c) \rangle, …\}$ maka $\langle \nu(a),\nu(c) \rangle \in \nu(R_2)$ untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ yakni:
Apabila
| $R_2$ | $\partial_a$ | $\partial_b$ | $\partial_c$ | $…$ |
| $\partial_a$ | ? | $\checkmark$ | ? | ? |
| $\partial_b$ | ? | ? | $\checkmark$ | ? |
| $\partial_c$ | ? | ? | ? | ? |
| $…$ | ? | ? | ? | ? |
maka
| $R_2$ | $\partial_a$ | $\partial_b$ | $\partial_c$ | $…$ |
| $\partial_a$ | ? | $\checkmark$ | $\checkmark$ | ? |
| $\partial_b$ | ? | ? | $\checkmark$ | ? |
| $\partial_c$ | ? | ? | ? | ? |
| $…$ | ? | ? | ? | ? |
Kemudian untuk (A3).
(A3) $\forall x, y ((R(x, y) \land R(y, x)) \Rightarrow x = y)$
Model kontranya adalah:
| $\mathbb{I} \not \models \forall x, y ((R(x, y) \land R(y, x)) \Rightarrow x = y)$ | |
| iff | terdapat $d_1,d_2 \in D$, $ \langle \nu (k_{d_1}),\nu (k_{d_2}) \rangle \in \nu(R_2)$ dan $\langle \nu (k_{d_2}),\nu (k_{d_1}) \rangle \in \nu(R_2)$ dan $\nu(k_{d_1}) \neq \nu(k_{d_2})$, untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ |
Pada umumnya:
(B3) Terdapat $d_1,d_2 \in D$, $ \langle \nu (k_{d_1}),\nu (k_{d_2}) \rangle \in \nu(R_2)$ dan $\langle \nu (k_{d_2}),\nu (k_{d_1}) \rangle \in \nu(R_2)$ dan $\nu(k_{d_1}) \neq \nu(k_{d_2})$, untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$
Pernyataan (B3) tersebut merupakan representasi model kontra untuk (A3) dalam $\mathbb{I}$: instansiasi $k_{d_1},k_{d_2}$ menjadi konstanta $a,b$ sehingga $d_1,d_2$ menjadi denotasi $\partial_a,\partial_b$, kita mendapatkan $D = \{\partial_a,\partial_b\}$ dengan $\partial_a = \nu (a) \neq \nu (b) = \partial_b$ di mana $\nu (R_2)=\{\langle \nu(a),\nu(b) \rangle,\langle \nu(b),\nu(a) \rangle\}$ untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ yakni:
| $R_2$ | $\partial_a$ | $\partial_b$ |
| $\partial_a$ | $\times$ | $\checkmark$ |
| $\partial_b$ | $\checkmark$ | $\times$ |
Dengan demikian, kita dapat susun spesifikasi untuk $\mathbb{J}$ dengan menegasikan (B3) menjadi:
(B3’) Untuk semua $d_1,d_2 \in D$, $ \langle \nu (k_{d_1}),\nu (k_{d_2}) \rangle \not\in \nu(R_2)$ atau $\langle \nu (k_{d_2}),\nu (k_{d_1}) \rangle \not\in \nu(R_2)$ atau $\nu(k_{d_1}) = \nu(k_{d_2})$, untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$
Dengan (B3’) berlaku di $\mathbb{J}$, maka dapat dipastikan $\mathbb{J} \models \forall x, y ((R(x, y) \land R(y, x)) \Rightarrow x = y)$. Perhatikan bahwa (B3’) membentuk domain $D = \{\partial_a, \partial_b, …\}$ dengan $\nu(a) = \partial_a$, $\nu(b) = \partial_b$, dan seterusnya, sedemikian sehingga apabila $\nu(R_2) = \{\langle \nu(a),\nu(b) \rangle,\langle \nu(b), \nu(a) \rangle, …\}$ maka $\partial_a=\nu(a)=\nu(b) = \partial_b$ untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ yakni:
Apabila
| $R_2$ | $\partial_a$ | $\partial_b$ | $…$ |
| $\partial_a$ | ? | $\checkmark$ | ? |
| $\partial_b$ | $\checkmark$ | ? | ? |
| $…$ | ? | ? | ? |
maka
| $R_2$ | $\partial_a=\partial_b$ | $…$ | |
| $\partial_a=\partial_b$ | $\checkmark$ | ? | |
| $…$ | ? | ? |
Terakhir, untuk (A4).
(A4) $\forall x, y (R(x, y) \lor R(y, x))$
Per usual:
| $\mathbb{I} \not \models \forall x, y (R(x, y) \lor R(y, x))$ | |
| iff | terdapat $d_1,d_2 \in D$, $\langle \nu(k_{d_1}),\nu(k_{d_2}) \rangle \not\in \nu(R_2)$ dan $\langle \nu(k_{d_2}),\nu(k_{d_1})\rangle \not\in \nu(R_2)$, untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ |
Kesetaraan terakhir:
(B4) Terdapat $d_1,d_2 \in D$, $\langle \nu(k_{d_1}),\nu(k_{d_2}) \rangle \not\in \nu(R_2)$ dan $\langle \nu(k_{d_2}),\nu(k_{d_1})\rangle \not\in \nu(R_2)$, untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$
Pernyataan (B4) tersebut merupakan representasi model kontra untuk (A4) dalam $\mathbb{I}$: instansiasi $k_{d_1},k_{d_2}$ menjadi konstanta $a,b$ sehingga $d_1,d_2$ menjadi denotasi $\partial_a,\partial_b$, kita mendapatkan $D = \{\partial_a,\partial_b\}$ dengan $\nu (a) = \partial_a$ dan $ \nu (b) = \partial_b$ di mana $\nu (R_2)= \varnothing$ untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ yakni:
| $R_2$ | $\partial_a$ | $\partial_b$ |
| $\partial_a$ | $\times$ | $\times$ |
| $\partial_b$ | $\times$ | $\times$ |
Dengan demikian, kita dapat susun spesifikasi untuk $\mathbb{J}$ dengan menegasikan (B4) menjadi:
(B4’) Untuk semua $d_1,d_2 \in D$, $\langle \nu(k_{d_1}),\nu(k_{d_2}) \rangle \in \nu(R_2)$ atau $\langle \nu(k_{d_2}),\nu(k_{d_1})\rangle \in \nu(R_2)$, untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$
Dengan (B4’) berlaku di $\mathbb{J}$, maka dapat dipastikan $\mathbb{J} \models \forall x, y (R(x, y) \lor R(y, x))$. Perhatikan bahwa (B4’) membentuk domain $D = \{\partial_a, \partial_b, …\}$ dengan $\nu(a) = \partial_a$, $\nu(b) = \partial_b$, dan seterusnya, sedemikian sehingga antara $\nu(R_2) = \{\langle \nu(a),\nu(b) \rangle, …\}$ atau $\nu(R_2) = \{\langle \nu(b), \nu(a) \rangle, …\}$ untuk $\nu(R_2) \subseteq D^2$ yakni:
Antara
| $R_2$ | $\partial_a$ | $\partial_b$ | $…$ |
| $\partial_a$ | ? | $\checkmark$ | ? |
| $\partial_b$ | ? | ? | ? |
| $…$ | ? | ? | ? |
atau
| $R_2$ | $\partial_a$ | $\partial_b$ | $…$ |
| $\partial_a$ | ? | ? | ? |
| $\partial_b$ | $\checkmark$ | ? | ? |
| $…$ | ? | ? | ? |
Sampai titik ini dapat dipastikan bahwa dengan menetapkan (B1’), (B2’), (B3’), dan (B4’) untuk berlaku di $\mathbb{J}$, maka $\mathbb{J} \models T$; sehingga, kita telah membuktikan bahwa teori $T$ benar di $\mathbb{J}$. Kemudian, mari kita terjemahkan jawaban tersebut dalam bahasa matematikawan untuk menjawab pertanyaan Ulfah.
Sebut interpretasi $\mathbb{I}$ sebagai model $M$ dalam $struktur-L$. Teori $T$ terdiri dari simbol predikat $\{R\}$ dengan penempatan sejumlah $2$ sehingga bahasa $L$ mengikuti kerangka tersebut. Maka dari itu, $struktur-L$ terdefinisi model $M$ bersama $M[R] \subseteq M^2$ untuk simbol predikat $R$. Selanjutnya, $M[R]$ terdefinisi sebagai himpunan semua tuple $(C_1, …, C_n) \in M^2$ yang memenuhi predikat $R$. Untuk tiap $M$ di $T$, kita menetapkan spesifikasi $\widetilde{M} \subseteq M$ di mana $\widetilde{M}$ merupakan model yang ekuivalen.
Pertanyaan Ulfah: pada kondisi apa terdapat sebuah formula (skematik) $\phi(x)$ dalam bahasa untuk teori $T$ sehingga $\widetilde{M}=M[\phi]$ untuk semua model $M$?
Jawabannya cukup jelas: pada kondisi (B1’), (B2’), (B3’), dan (B4’) dalam interpretasi $\mathbb{J}$ sehingga $\mathbb{J} = \widetilde {M} = M[\phi]$ untuk semua model $M = \mathbb{I}$; sebab, formula apa pun menjadi valid dalam kerangka teori $T$ sejauh formula tersebut mengikuti kondisi (B1’), (B2’), (B3’), dan (B4’) yang merupakan spesifikasi untuk $\mathbb{J}$; mengingat, teori $T$ valid dalam interpretasi $\mathbb{J}$ di mana $\mathbb{J}$ sendiri merupakan interpretasi $\mathbb{I}$ dengan kondisi pembatas (constraints) (B1’), (B2’), (B3’), dan (B4’).
Kami pikir sampai sini jawabannya cukup jelas. Hal yang tidak jelas adalah mengapa pertanyaan ini dipertanyakan kepada kami sebagai sebuah respon atas artikel kami sebelumnya (baca Ahnaf dan Arkhano, 2024a dan 2024b). Pada artikel kami tersebut, kami membahas dan merangkum buku yang ditulis oleh Priest (2008), spesifiknya volume 1: yakni ide-ide perihal logika non-klasik proposisional yang jelas tanpa kuantor; dan respon Ulfah jelas tidak relevan dan terlihat linglung dengan memakai ‘ilmu orde-orde-an’ berkemaskan bahasa indahnya yang disanjung-sanjung. Sila sandingkan artikel kami tersebut dengan artikel Ulfah: tak perlu menjadi jenius untuk melihat bahwa sebenarnya tulisan Ulfah hanya berbicara sendiri; meski harus kami akui memang bahasa tulisan Ulfah tersebut indah nan puitis.
Jelas bahwa ide utama pada artikel kami tersebut adalah perihal problem konektif logika beserta penalaran atasnya, bukan perihal kuantor. Sementara itu, tulisan Maria Ulfah datang begitu saja memberikan penyelidikan dan pertanyaan tentang logika orde pertama yang tidak relevan: seakan memberikan ujian soal begitu saja pada kami yang otodidak belajar logika tingkat lanjut. Ketika Ulfah menyatakan bahwa artikel kami tersebut merupakan kekeliruan fatal, ternyata terdapat hal yang lebih fatal lagi: kejumawaan dan ketidakmampuan dalam membaca maupun memahami dengan seksama; padahal kami pikir matematikawan bukanlah kalkulator. Tulisan Ulfah sejauh ini tidak jelas menunjukkan di mana kefatalan artikel kami: hanya bahasanya saja yang indah, sementara substansi tulisan Ulfah adalah himpunan kosong, yakni omong kosong. Bagaimanapun, kami tetap berprasangka baik: kami menunggu respon Ulfah lebih lanjut agar terlihat jelas arah dan poin argumentasi Ulfah.
Observasi Ketiga
Kami melihat adanya ketidakjelasan pernyataan Ulfah perihal skema semesta model matematika. Jikalau memang terdapat skema semesta model matematika dengan ‘model universal yang konkret’ seperti klaim Ulfah (2024), lantas realitas apa yang direpresentasikan tersebut? Lagi pula, apa maksudnya ‘model universal yang konkret’ ini? Ulfah hanya menunjukkan diagram begitu saja dan secara tidak langsung mengklaim bahwa matematika berangkat dari ‘fakta konkret intuitif’. Lalu, apa maksud dari ‘fakta konkret intuitif’ ini? Hal krusial ini tidak dijelaskan oleh Ulfah, tetapi orang-orang menyanjungnya seakan paham betul poin Ulfah. Bagaimanapun, kami akan menunggu penjelasan lebih lanjut perihal diagram pernyataan Ulfah tersebut.
Memang betul apa yang dirangkum oleh Romo Mangun, “Perang tidak bisa dimenangkan dengan emosi. Tetapi perhitungan yang dingin.” Sayangnya ini bukan perang karena serangan yang diberikan adalah serangan kosong: bagaimana bisa memenangkan peperangan yang tidak pernah terjadi? Bahkan perang dingin pun tidak. Kalau mau dipaksakan perang, mungkin ini perang melempem. So, if you want war, give us a proper one; try again, we’ll be waiting for it.
Ulfah terjebak dalam sebuah semesta-penalaran-matematika dengan ‘ilmu orde-orde-an’, sementara kami mencoba membawa publik untuk berpikir melampaui ‘sebuah semesta’ sehingga mencapai pemikiran multi-semesta: pluralisme logika. Dalam pluralisme logika, tidak hanya ‘prinsip penyisihan jalan tengah’ dan ‘prinsip non-kontradiksi’ yang tersisihkan: ‘prinsip identitas’ pun juga ikut tersisihkan. Terdapat semesta penalaran di mana prinsip penyisihan jalan tengah tidak berlaku, seperti logika intuisionistik; terdapat semesta penalaran di mana prinsip non-kontradiksi tidak berlaku, seperti logika Kleene $K_3$; ada pula semesta penalaran di mana prinsip identitas tidak berlaku, seperti logika kondisional $C$ (meski demikian, prinsip identitas tetap berlaku pada logika yang lebih kuat seperti logika kondisional $C^+$; baca Priest, 2008). Hal yang sama berlaku untuk prinsip-prinsip lain, dan keberagaman semesta inilah yang merupakan objek studi logika.
Ulfah (2024) mengklaim bahwa konsekuensi dari penyisihan tersebut adalah: kami “menyisipkan bahasa sebagai alat tunggal dan jalan satu-satunya.” Klaim tersebut menunjukkan bahwa terdapat kebingungan dan sedikit kebodohan maupun kejumudan dari sisi Ulfah: Ulfah gagal membedakan logika dengan bahasa. Ulfah terpaku dengan konsepsi filsafat analitik awal yang tidak mempertegas perbedaan antara analisis bahasa dengan analisis logis. Sementara itu, kami sudah keluar dari konsepsi lama tersebut dan mempertegas perbedaannya: logika itu tentang inferensi, yakni penalaran dan penyimpulan, tentang bagaimana suatu hal disimpulkan dari hal lain, dan ini urusan logikawan; sementara bahasa itu tentang ekspresi, tentang bagaimana suatu hal dimaknai dan diungkapkan, dan ini urusan linguis. Konsepsi analisis dalam filsafat analitik adalah analisis logis (Beaney, 2021), bukan analisis bahasa.
Bagi kami, matematika itu tentang struktur matematis (aritmatika, geometri, dan sebagainya) yang dilihat melalui teori-teori matematis (teori himpunan, teori kategori, dan sebagainya). Sayangnya, klaim Ulfah (2024) lah yang justru memalu dirinya sendiri: ia sendiri menunjukkan bahwa matematika sedari awal memang sudah memakai bahasa sebagai alat tunggal sebab bagi Ulfah matematika itu “seni memberi nama”; kalau cuma begitu, bubarkan saja fakultas matematika karena tidak ada bedanya dengan badan bahasa yang sibuk dengan definisi dan nama-nama. Kalau sekadar memberi nama, masyarakat juga bisa memberi nama/label atas sesuatu; lantas apakah masyarakat adalah matematikawan? Jika ya, mengapa/bagaimana bisa kesimpulannya ya? Jika tidak, mengapa/bagaimana bisa kesimpulannya tidak? Sampai sini, apakah pahambedanya logika dan bahasa? Dalam nada Tyrion Lannister: see the difference?
Maka dari itu, tidak ada klaim bahwa “logika cuma sekadar alat” dalam studi logika: konstruksi logika/penalaran yang plural itulah objek yang diteliti, dan alatnya itu teori semantik dan teori sintaksis; tetapi, dalam kehidupan sehari-hari, tentu saja logika adalah alat bernalar. Ini tidak jauh beda dengan dengan studi matematika: matematika itu studi struktur matematis, dengan alat teori matematisnya; sementara dalam kehidupan sehari-hari, matematika adalah alat pengukuran, penghitungan, dan sebagainya. Ulfah gagal memahami ini dan menganggap kami melihat “logika sekadar alat” pada kondisi apa pun, padahal konteks tulisan kami dituliskan kepada publik yang lebih relate dengan kehidupan sehari-hari, dan mungkin kurang relate dengan studi logika. Tulisan kami tersebut untuk publik, bukan terkhusus untuk orang-orang yang mempelajari logika secara mendalam; dan itulah mengapa kami memperkenalkannya demikian, agar mudah dicerna publik. Ulfah terlihat sengaja melakukan misrepresentasi atas tulisan kami, sehingga, apabila benar demikian, ini bukanlah diskusi yang baik; dan publik menyanjung-nyanjung kepuitisan Ulfah seakan mereka paham poin yang diangkat Ulfah. Bagaimanapun, hal tersebut hanya kelihatannya saja: kami menunggu respon lebih lanjut Ulfah.
Logic is the essence of philosophy,
The Manifesto of The Logicians Liberation League
and logic is the organon of philosophy,
and logic is the form of philosophy.
Mengakhiri Tiga
Sekarang, waktunya kami membongkar semesta-penalaran Ulfah. Tadi, kita sudah menyelami logika orde pertama, sekarang kita terbang untuk melihatnya dari kejauhan secara abstrak berenergikan jasad burung manyar; jadi, persiapkan parasut anda.
Kita telah ketahui dari rekursi sebelumnya bahwa proposisi berkuantor maupun berkonstanta merupakan sebuah formula. Maka dari itu, apabila kita memiliki proposisi orde pertama tertutup, baik berkuantor $\forall x(A)$ maupun berkonstanta $P(c)$, maka kita dapat mensubstitusikannya secara abstrak menjadi formula $B$. Contoh lain, proposisi $\forall x(A) \Rightarrow P(c)$ dapat disubstitusikan secara abstrak menjadi formula $C \Rightarrow D$. Kita dapat merekursi proses abstraksi ini terus menerus pada setiap proposisi tertutup dalam logika orde pertama; konsekuensinya, kita mendapatkan logika proposisional klasik.
Konsekuensi tersebut muncul karena semua konektif dalam logika orde pertama merupakan konektif logika proposisional klasik (kecuali konektif identitas, karena konektif tersebut sebenarnya merupakan predikat); kalian dapat cek pada konstruksinya. Dengan mensubstitusikan secara abstrak semua proposisi tertutup dalam logika orde pertama menjadi sebuah formula, maka yang tersisa adalah kumpulan formula dengan konektif logika klasik: yakni logika proposisional klasik. Memang proses abstraksi ini akan ‘melupakan’ beberapa penyimpulan valid/tautologis dalam logika orde pertama: semisal pernyataan $\forall x(A \Rightarrow A)$ diabstraksikan menjadi formula $B$; meski $\forall x(A \Rightarrow A)$ valid dalam logika orde pertama, tentu formula $B$ tidaklah valid dalam logika proposisional klasik.
Bagaimanapun, pelupaan tersebut bukanlah sebuah masalah sebab kita tahu bahwa proposisi yang valid dalam logika proposisional klasik tentu valid pula dalam logika orde pertama. Semisal prinsip identitas $A \Rightarrow A$ yang sudah tentu tautologi dalam logika proposisional klasik: kita dapat tentukan proposisi padanannya yang valid dalam logika orde pertama, yakni substitusikan formula $A$ menjadi $\forall x(B)$ atau $P(c)$ sedemikian sehingga $A \Rightarrow A$ berubah menjadi $\forall x(B) \Rightarrow \forall x(B)$ atau $P(c) \Rightarrow P(c)$ yang valid di logika orde pertama. Mari kita pertajam proses ini secara formal.
Sebut ‘$\models_X$’ sebagai sebuah penyimpulan dengan logika $X$; ‘$CL$’ sebagai logika proposisional klasik; dan ‘$FOCL$’ sebagai logika orde pertama. Kita tahu bahwa ‘$\models_{CL}$’ dan ‘$\models_{FOCL}$’ sama-sama merupakan preservasi kebenaran. Untuk formula, tentukan:
- $A,B,C,D$ sebagai formula proposisional;
- $A^\prime,B^\prime,C^\prime,D^\prime$ sebagai formula orde pertama arbitrer tertutup yang disubstitusikan dari formula proposisional; dan
- $\Sigma,\Pi$ sebagai himpunan premis/formula proposisional; dan
- $\Sigma^\prime,\Pi^\prime$ sebagai himpunan premis/formula orde pertama arbitrer tertutup yang setiap anggotanya disubstitusikan dari formula proposisional.
Sangat mudah menunjukkan bahwa apabila $\Sigma \models_{CL} A$, maka $\Sigma^\prime \models_{FOCL} A^\prime$; sehingga, secara natural juga demikian bahwa apabila $\models_{CL} A$, maka $\models_{FOCL} A^\prime$.
Kita berangkat dari $\Sigma \models_{CL} A$. Dengan preservasi kebenaran, kita tahu bahwa untuk semua $B \in \Sigma$, $\nu(B) =1$, $\nu(A) = 1$. Substitusikan $B$ dengan $B^\prime$, dan $A$ dengan $A^\prime$; sehingga kita dapatkan bahwa untuk semua $B^\prime \in \Sigma$, $\nu(B^\prime) =1$, $\nu(A^\prime) = 1$. Karena preservasi kebenaran tersebut berada pada bahasa logika orde pertama, dan kita mensubstitusikan semua elemen $\Sigma$, maka kita dapatkan bahwa $\Sigma^\prime \models_{FOCL} A^\prime$. Pembuktian untuk tanpa premis mirip dengan proses tersebut.
Kita langsung pada contoh nyata. Penyimpulan berikut valid dalam logika proposisional klasik:
$(A \Rightarrow B) \land (C \Rightarrow D) \models_{CL} (A \Rightarrow D) \lor (C \Rightarrow B)$.
Penyimpulan yang sepadan juga valid dalam logika orde pertama, yakni:
$(P(c) \Rightarrow Q(c)) \land (R(c) \Rightarrow S(c)) \models_{FOCL} (P(c) \Rightarrow S(c)) \lor (R(c) \Rightarrow Q(c))$.
Kita substitusikan seperti ini:
- $A := P(c) :=$ “Ulfah berada di Surabaya”
- $B := Q(c):=$ “Ulfah berada di Jawa Timur”
- $C := R(c):=$ “Ulfah berada di Temanggung”
- $D := S(c):=$ “Ulfah berada di Jawa Tengah”
Dengan demikian, penyimpulan di atas dibaca:
dari
“Jika Ulfah berada di Surabaya maka Ulfah berada di Jawa Timur, dan
jika Ulfah berada di Temanggung maka Ulfah berada di Jawa Tengah”
dapat disimpulkan
“Jika Ulfah berada di Surabaya maka Ulfah berada di Jawa Tengah, atau
jika Ulfah berada di Temanggung maka Ulfah berada di Jawa Timur”.
Penyimpulan tersebut tetap tidak dapat diterima secara intuitif, kendati ia dapat dijelaskan modelnya dalam logika orde pertama. Perhatikan percakapan berikut:
| A: | “Apakah benar jika Ulfah berada di Surabaya, maka Ulfah berada di Jawa Timur?” |
| B: | “Benar demikian.” |
| A: | “Apakah benar jika Ulfah berada di Temanggung maka Ulfah berada di Jawa Tengah?” |
| B: | “Ya, benar juga demikian.” |
| A: | “Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa: jika Ulfah berada di Surabaya maka Ulfah berada di Jawa Tengah, atau jika Ulfah berada di Temanggung maka Ulfah berada di Jawa Timur.” |
| B: | “Hah?? Kedua sisi ‘atau’-nya jelas-jelas salah kok: tidaklah demikian bahwa jika Ulfah berada di Surabaya maka Ulfah berada di Jawa Tengah; dan tidak pula demikian bahwa jika Ulfah berada di Temanggung maka Ulfah berada di Jawa Timur.” |
| A: | “Modelling ini, boss, ini berguna, lho, pada teknologi yang kita gunakan. Lagipula, saya mengajar logika sudah puluhan tahun; anda tahu apa?” |
| B: | “Oke, GGWP. Selamat, anda ‘jenius’.” |
Logika orde pertama hanya menambahkan semantik domain ‘$c$’ sebagai objek pada predikat ‘$ P, Q, R, S$’ tanpa mengubah relasi kebenarannya. Sehingga, dapat disaripatikan bahwa perbedaan semantik logika orde pertama dan proposisional adalah mengenai pemahaman kita tentang objek yang memiliki predikat tertentu; logika orde pertama melihat lebih spesifik pada relasi domain objek dan predikat, namun landasan penyimpulan dan konektif logikanya tetap logika proposisional klasik. Problem yang sama tetap akan terjadi pada orde-orde yang lebih tinggi: baik itu orde kedua, ketiga, maupun ke-seribu dan ke-sejuta; jika konektif logikanya tetap logika klasik, problem yang sama akan terbawa dan muncul kembali di orde yang lebih tinggi.
Bagaimanapun, kuantor dalam logika orde pertama sendiri juga tidak hadir tanpa adanya permasalahan filosofis di dalamnya. Jikalau kacamata matematikawan tidak cukup jernih untuk melihatnya, biarkan filsuf-logikawan yang menyelidikinya.
Contoh Permasalahan Filosofis dalam Logika Orde Pertama
Logika dan filsafat tidak dapat lepas dari satu sama lain: filsafat (terutama metafisika) merupakan fitur logika, sementara itu berfilsafat memerlukan logika; jika seseorang berlogika atas sesuatu maka ia harus memfilsafatkan logikanya, dan jika seseorang berfilsafat atas sesuatu maka ia harus melogikakan filsafatnya. Ketika filsafat bercermin, ia akan sadar bahwa dirinya sedari dulu hanyalah logika, dan ketika logika bercermin, ia akan sadar bahwa dirinya sedari dulu hanyalah filsafat; dan kami menodongkan pistol seraya berkata: always has been.
Terdapat beberapa permasalahan logika orde pertama yang secara filosofis mungkin tidak dapat dijangkau dari sudut pandang matematika. Keluputan ini mungkin tidak dipermasalahkan dalam dunia matematika karena mungkin matematika tidak peduli atau memang alergi dengan realitas sehari-hari.
Perhatikan bahwa penyimpulan $Q(p) \models \exists x(Q(x))$ berlaku dalam logika orde pertama. Tetapkan formula $Q(p)$ sebagai “Pegasus adalah sesuatu yang tidak ada”, maka dari itu dapat disimpulkan formula $\exists x (Q(x))$ yang menyatakan “terdapat sesuatu yang tidak ada”. Apabila ‘terdapat’ itu identik dengan keberadaan sehingga diterjemahkan sebagai ‘ada’, maka kesimpulan tersebut dibaca “ada sesuatu yang tidak ada”. Tentu kesimpulan tersebut tidak dapat diterima secara intuitif meski benar bahwa “Pegasus adalah sesuatu yang tidak ada”. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kuantor partikular tidak membicarakan perihal keberadaan maupun eksistensi sama sekali. Lantas, bagaimana matematika dengan logika orde pertamanya membicarakan soal keberadaan atau eksistensi? Mungkin matematika memang tidak peduli dengan keberadaan atau eksistensi karena mungkin sedari awal matematika sudah mengada-adakan yang tidak ada seperti angka dan struktur matematisnya.
Mari kita coba lagi dengan menyatakan “Harry Potter tinggal di Inggris”. Apakah Harry Potter ada/eksis? Jika tidak, bagaimana dia bisa mempunyai sifat (property) “tinggal di Inggris”? Contoh lain, ketika kita bermimpi dikejar setan yang menakutkan, apakah setan tersebut ada/eksis? Dari sini dapat dilihat jejaknya bahwa seakan sifat setan yang menakutkan itu terlepas dari eksistensi objeknya. Permasalahan pelik ini nampak membahagiakan Meinong di surga hutan metafisikanya. Namun, apakah matematika dapat menjawab apa itu ‘ada/eksis’ dan hubungan kuantor dengan realitas melalui ‘ilmu orde-orde-an’-nya?
Salah satu solusi yang ditawarkan logikawan adalah dengan membangun sebuah logika yang mampu membicarakan keberadaan atau eksistensi; dan hal ini dilakukan dengan memisahkan konsep keberadaan dengan kuantor partikular: keberadaan merupakan sifat khusus. Logika ini disebut free logic atau logika bebas (baca Priest, 2008: 290). Logika bebas mampu menangkap intuisi kita perihal keberadaan atau eksistensi daripada sekadar logika orde pertama: dalam logika orde pertama, $Q(p) \models \exists x (Q(x))$; sementara dalam logika bebas, $Q(p) \not\models \exists x(Q(x))$ sebab bisa jadi $Q(p)$ benar dalam domain eksistensial yang kosong sehingga objeknya, $p$, tidak ada/tidak eksis. Kita akan membahas berbagai problem orde pertama ini lebih dalam pada artikel kami selanjutnya: seperti problem identitas, formula Barcan, domain konstan-variabel, dan seterusnya.
You have caged the eagle of reason,
The Manifesto of The Logicians Liberation League
the dove of wisdom,
and the lark of a definite,
precisely formulated formal system,
with exact formation rules,
a recursive set of axioms,
and clear and cogent rules of inference,
and you have made them your pigeons.
Oh, you filterable viruses,
we will shake you off,
and fly once more.
Akhir yang Memuakkan
Satu, Maria Ulfah tidak cuma akan, namun memang sudah memalukan:
(a) Ulfah gagal merepresentasikan poin kami pada artikel sebelumnya secara tepat;
(b) Ulfah gagal (atau belum) menunjukkan di mana letak kesalahan maupun kefatalan pada artikel kami sebelumnya; dan
(c) Ulfah gagal (atau belum) menjelaskan argumen mereka sendiri, seakan diagram dan bahasa puitis yang mereka bawa sudah menggambarkan argumen mereka secara gamblang.
Dua, Maria Ulfah tidak hanya berpaku, namun juga terpaku pada semesta dunia matematikanya sendiri; saking cintanya ia dengan semesta tersebut, ia membutakan dirinya pada problem-problem potensial dalam logika orde-orde-an yang diklaim secara serampangan sebagai ‘ilmu’. Tiga, sudahilah analogi potong memotong omong kosong ini: kami sudah keluar dari semesta paku maupun palu, dan melihatnya dari sudut pandang multi-semesta.
Sampai sini seharusnya kita dapat memahami sebuah realitas non-klasik. Kita secara bawaan klasik-monotonis akan berpikir bahwa gabungan kebaikan akan menghasilkan kebaikan. Tulisan Maria Ulfah membuktikan sebaliknya: meski matematika dan seni-puisi itu masing-masing dapat dibilang ‘baik’, namun gabungan keduanya merupakan paket komplit untuk membingungkan publik hingga membuat publik terlena. Analogi yang cocok adalah seperti dokter: dokter selayaknya paham bahwa bukan berarti dua obat yang masing-masing menyembuhkan penyakit itu ketika keduanya diminum bersamaan juga akan menyembuhkan, bisa saja beracun karena kombinasi keduanya akan memunculkan reaksi negatif tertentu; sehingga, dokter yang baik adalah dokter yang bernalar secara non-klasik.
Filsafat analitik Indonesia dapat menjadi apa pun, baik penolong, atau pembunuh, sahabat, atau perusak, karena ia adalah himpunan kosong, ketiadaan, tidak ada, mungkin saja belum ada; dan ketiadaan itulah yang berada dalam sangkar emas matematika yang ‘sangat indah’ sebab hanya sangkar itu yang matematika punya. Matematika menaruh bara api di atas ketiadaan, dan kami berdoa semoga matematika berhasil menghidupkan ketiadaan; sementara itu, berbagai burung indah bernyanyi di luar sana mengajak orang-orang untuk menyusuri hutan belantara multi-semesta.
Catatan Akhir
[1] Semua kutipan puisi dalam artikel ini dikutip dari situs The Logicians Liberation League: <https://sites.google.com/view/aalogic/curios/logicians-liberation-league>
Referensi
Ahnaf, M. Q., dan Arkhano, R. A., 2024a, “Beberapa Penyimpulan Bermasalah dalam Logika Klasik (1),” Antinomi. Diakses pada 25 Februari 2024:
<https://antinomi.org/beberapa-penyimpulan-bermasalah-dalam-logika-klasik-1/>
Ahnaf, M. Q., dan Arkhano, R. A., 2024b, “Beberapa Penyimpulan Bermasalah dalam Logika Klasik (2),” Antinomi. Diakses pada 25 Februari 2024:
<https://antinomi.org/beberapa-penyimpulan-bermasalah-dalam-logika-klasik-2/>
Beaney, Michael, 2021, “Analysis”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Edisi Musim Panas, Edward N. Zalta (editor). Diakses pada 25 Februari 2024:
<https://plato.stanford.edu/archives/sum2021/entries/analysis/>
Carnap, Rudolf, 2001, Logical Syntax of Language, Oxon: Routledge
Priest, Graham, 2008, An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is, Edisi ke-2, Cambridge University Press: New York.
Ulfah, Maria, 2024, “Filsafat Analitik Telah Mati dan Matematika Menaruh Bara Api di Atasnya,” Antinomi. Diakses pada 25 Februari 2024:
<https://antinomi.org/filsafat-analitik-telah-mati-dan-matematika-menaruh-bara-api-di-atasnya/>
